Анекдот №144669

//Решение вкратце такое (про две точки и прямую)...

Тут уже упоминали теорему о секущей и касательной. Деталей не помню, но
смысл таков:
Даны окружность и точка О вне окружности. Проведем через точку секущую
к окружности (точки пересечения А и В) и касательную (точка касания С).
Утверждается |ОС|^2 = |ОА|*|ОВ|.

В применении к задаче рассматривается случай, когда прямая, проходящая
через данные точки (пусть А и В) непараллельна данной прямой.
Пусть А "ниже" В, а О - точка пересечения АВ с данной прямой. Для любой
окружности, проходящей через А и В прямая ОА (ОВ, АВ) - секущая, в том
числе и для искомой. По теореме длина касательной будет одинаковой для
всех таких окружностей. Поэтому строим любую окружность проходящую через
А и В и проводим к ней касательную ОС, затем чертим окружность с центром
О и радиусом ОС. Пусть точка М - ее пересечение с данной прямой. Эта
точка принадлежит искомой окружности, поскольку ОМ - касательная к ней,
а ее длина получена построением.
Случай с параллельностью - простой, рассказывать не буду.

поперечный